7. Qu’est-ce que la logique symbolique ?

jeudi 11 février 2016, par Denis Cerba

En bref : La logique contemporaine est « symbolique » dans la mesure où elle utilise un langage symbolique complet et propre, analogue au symbolisme mathématique, distinct du langage naturel, qui lui permet d’exprimer avec la rigueur qu’elles requièrent les notions et relations logiques qu’elle met en évidence. En cela, la logique contemporaine est plus généralement une école de rigueur, utile notamment pour la réflexion philosophique.
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Une page de logique contemporaine

L’appellation « logique symbolique » est une façon de désigner la logique contemporaine. Cela renvoie au fait que la logique contemporaine (contrairement à la logique traditionnelle) utilise un langage entièrement symbolique.

En cela, sa pratique est semblable à celle des mathématiques, qui elles aussi utilisent un langage symbolique ad hoc (c’est l’une des raisons pour lesquelles la logique contemporaine est également qualifiée de logique mathématique).

Un langage symbolique se distingue d’un langage naturel. Un langage symbolique (qu’il soit mathématique ou logique) n’utilise aucun des mots du langage naturel (français, anglais, chinois, etc.), mais crée de toutes pièces les symboles dont il a besoin pour exprimer le plus précisément possible les notions qui l’intéressent. Le symbolisme logique sert donc à exprimer les éléments constitutifs de l’analyse logique des propositions et de la validité formelle des inférences.

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La Begriffschrift (1879)
Premier symbolisme logique complet

L’un des fondateurs historiques de la logique contemporaine, G. Frege (1848-1925), explique l’utilité du symbolisme logique en comparant ce dernier à un microscope. Le symbolisme logique est au langage naturel ce que le microscope est à l’œil. L’œil est certes plus utile et efficace dans la vie courante, mais pour faire de la science (pour découvrir certaines choses, par exemple en biologie) le microscope est indispensable : de la même façon, l’utilité du langage naturel (dans toute sa richesse et ses ambiguïtés) est indéniable, mais quand il s’agit de saisir ce qu’il y a de formellement valide dans nos raisonnements (ce qui est l’objet de la logique), un instrument beaucoup plus précis s’avère indispensable. Voici le § de la préface de la Begriffschrift où Frege exprime cette idée :

Je crois pouvoir rendre le plus clairement le rapport de mon idéographie [1] à la langue courante si je le compare avec celui du microscope à l’œil. Celui-ci a, par l’étendue de ses possibilités d’application, par la mobilité avec laquelle il peut s’adapter aux circonstances les plus différentes, une grande supériorité sur le microscope. Considéré comme appareil optique, il montre assurément beaucoup d’imperfections qui ne restent ignorées qu’en raison de sa promiscuité avec la vie mentale. Mais aussitôt que des buts scientifiques posent de hautes exigences quant à la précision dans la distinction, l’œil se montre insuffisant. Par contre, le microscope est parfaitement adapté à précisément de tels buts, mais c’est justement pour cette raison qu’il est inutilisable pour tous les autres. [2]

Il faut bien voir par conséquent que le symbolisme logique vaut par sa précision et sa signification parfaitement univoque (comme le symbolisme mathématique) : un symbole logique est artificiel, établi ad hoc, et n’a aucun autre sens que celui qui lui est donné par sa définition. En particulier, il n’a jamais exactement le même sens que les équivalents plus ou moins proches qu’on peut lui trouver en langage naturel : par exemple, même un symbole logique aussi basique que « & » n’a pas exactement le même sens que le mot « et » (« Napoléon est mort et a été enterré » ne signifie pas la même chose que « Napoléon a été enterré et est mort »... — alors qu’en logique, p & q a exactement le même sens que q & p : le mot « et » a une connotation temporelle dont le symbole logique « & » est totalement dépourvu).

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Lexique logique
par Louis Vax

Cette idée est exprimée de façon frappante par Louis Vax [3] dans la déclaration suivante :

Il est aussi difficile de comprendre la logique moderne [= la logique contemporaine] sans connaître son symbolisme que de pratiquer l’arithmétique en ignorant l’usage des chiffres. Nul halo mystique n’enveloppe cependant les symboles, et les mots qui les traduisent sont si bien dépouillés de leurs connotations familières que le profane en est déconcerté. Car ce n’est pas leur finesse, mais leur brutalité qui doivent le frapper. [4]

L’utilité du symbolisme logique d’après B. Russell

Pour approfondir l’utilité du symbolisme en logique, voici l’opinion à ce sujet de l’autre grand fondateur historique de la logique contemporaine : B. Russell (1872-1970).

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Mysticism and Logic (1917)

Le texte suivant est extrait de l’article « Les mathématiques et les métaphysiciens » (publié en 1917 dans le recueil Mysticism and Logic). Dans cet article, Russell montre l’intérêt des progrès récents en mathématiques et en logique pour dépasser certaines idées toutes faites habituellement propagées par les « métaphysiciens ». Dans cet extrait, il commence par indiquer l’utilité du symbolisme dans le travail qu’il a mené à bien : dégager les fondements purement logiques de la connaissance mathématique. Le symbolisme, par l’effort de rigueur qu’il implique, permet de dégager, en deçà des évidences mathématiques, le substrat logique encore plus simple et fondamental qui les soutient. Russell élargit ensuite son propos à l’utilité philosophique de la logique : la logique symbolique (toujours par l’effort de rigueur qu’elle implique) permet de porter un regard critique sur certaines « évidences » philosophiques qui n’en sont peut-être pas toujours... On voit ainsi la place de la logique contemporaine au cœur de cette recherche particulièrement exigeante de vérité par quoi se caractérise la philosophie.

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B. Russell (1872-1970)

Il n’est pas facile pour un esprit profane de se rendre compte de l’importance du symbolisme dans la recherche des fondements des mathématiques, et l’explication peut sembler étrangement paradoxale. Le fait est que le symbolisme est utile parce qu’il rend les choses difficiles. (Ce n’est pas vrai des parties avancées des mathématiques, mais seulement des commencements.) Ce que nous souhaitons savoir est : ce qui peut être déduit, et : de quoi. Or, aux commencements, tout est évident en soi et il est très difficile de voir si une proposition évidente par elle-même découle d’une autre ou non. L’évidence est toujours l’ennemi de l’exactitude. Par conséquent, nous inventons un symbolisme nouveau et difficile où rien ne semble évident. Puis nous introduisons certaines règles pour opérer sur les symboles et tout devient mécanique. De cette façon, nous découvrons ce qui doit être considéré comme prémisse et ce qui peut être démontré ou défini. Par exemple, on a montré que la totalité de l’Arithmétique et de l’Algèbre ne requiert que trois notions indéfinissables et cinq propositions indémontrables. Mais, sans symbolisme, il aurait été très difficile de découvrir cela. Il est si évident que deux et deux font quatre que nous pouvons difficilement nous montrer assez sceptiques pour nous demander si l’on peut le prouver. Et il en est de même dans d’autres cas où des choses évidentes par elles-mêmes doivent être démontrées.
Mais prouver des propositions évidentes par elles-mêmes peut sembler, aux yeux des non-initiés, une occupation quelque peu frivole. À cela nous pourrions répondre qu’il n’est souvent nullement évident qu’une proposition évidente s’ensuive d’une proposition évidente, de sorte que nous découvrons réellement de nouvelles vérités quand nous prouvons ce qui est évident par une méthode qui n’est pas évidente. Mais une réponse plus intéressante consiste à dire que, depuis que l’on s’est attaché à prouver des propositions évidentes, on a constaté que bon nombre d’entre elles étaient fausses. L’auto-évidence n’est souvent qu’un feu follet qui certainement nous égare si nous le prenons pour guide. Par exemple, rien n’est plus banal que l’idée selon laquelle la totalité comprend toujours plus de termes qu’une de ses parties, ou qu’un nombre augmente par l’addition d’une unité. Mais on sait maintenant que ces propositions sont généralement fausses. La plupart des nombres sont inifinis et si un nombre est infini, vous pouvez lui ajouter autant d’unités que vous voulez sans le changer le moins du monde. Un des mérites d’une preuve est d’insinuer un certain doute quant au résultat prouvé. Et quand ce qui est évident peut être prouvé dans certains cas, mais pas dans d’autres, on peut supposer que dans ces autres cas c’est faux. [5]

Notes

[1En allemand : Begriffsschrift, ce qui se traduit littéralement écriture du concept, ou notation conceptuelle. C’est la façon qu’a Frege de désigner son symbolisme logique.

[2G. Frege, Idéographie, traduit de l’allemand par Corine Besson, Paris, VRIN 1999, Préface, p. 6.

[3Né en 1924, Louis Vax a été professeur de philosophie de 1969 à 1992 à l’université de Nancy II. C’est également un spécialiste de littérature fantastique. Son Lexique Logique (1982) est un instrument précieux pour un lecteur francophone.

[4Louis Vax, Lexique logique, PUF, 1982, p. 6.

[5Bertrand Russell, « Les mathématiques et les métaphysiciens », dans : Mysticisme et logique, traduction française sous la direction de D. Vernant (légèrement modifiée), VRIN, 2007, p. 89-90 (nous soulignons).

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