6. Qu’est-ce que la logique mathématique ?

jeudi 11 février 2016, par Denis Cerba

En bref : La logique contemporaine est qualifiée de logique « mathématique » en un double sens : en tant qu’elle repose foncièrement sur une analyse des vérités et des déductions mathématiques, et en tant qu’elle emprunte aux mathématiques certaines de ses pratiques les plus caractéristiques (notamment celle du symbolisme).

« Logique mathématique » est une façon de désigner la logique contemporaine.

Prise en elle-même, l’expression « logique mathématique » peut avoir deux sens :

  1. Elle peut désigner la logique des mathématiques : la logique sous-jacente à l’activité et à la connaissance mathématiques.
  2. Elle peut aussi désigner une théorie logique de nature mathématique, c’est-à-dire qui emprunte aux mathématiques ses procédures les plus caractéristiques.

En ces deux acceptions, la logique contemporaine est foncièrement une logique mathématique — notamment sa partie la plus centrale : la logique classique (ou standard).

 La logique standard comme logique des mathématiques

La logique contemporaine a été fondée au tournant des 19-20e s. par G. Frege, puis B. Russell (cf. Qu’est-ce que la logique contemporaine ?). Son but premier, chez Frege comme chez Russell, a été d’analyser la connaissance mathématique. Cela implique deux choses :

  1. analyser les énoncés mathématiques ;
  2. analyser les procédures de déduction mathématiques.

On peut dire que cette double recherche a amené à la mise au point des deux parties principales de la logique standard :

  1. L’analyse des énoncés mathématiques a débouché sur le calcul des prédicats (ou : logique quantificationnelle).
  2. L’analyse de la déduction mathématique a débouché sur le calcul des propositions (ou : logique propositionnelle).

Cela signifie qu’à travers l’analyse des mathématiques, Frege et Russell ont débouché sur quelque chose de beaucoup plus large : la logique « mathématique » couvre en fait l’essentiel de la logique tout court, c’est-à-dire la théorie de l’argumentation valide en général (dont la logique standard est le centre).

L’analyse fonctionnelle des énoncés mathématiques

La structure fondamentale des énoncés mathématiques est de nature fonctionnelle.

De façon générale, une fonction — en notation mathématique : f(x) — est une opération qui attribue une valeur déterminée à un argument déterminé. Par exemple, la fonction « puissance 2 » — f(x) = x2 — attribue la valeur « 4 » à l’argument « 2 » (22 = 4).

Or, Frege a découvert qu’on peut analyser les énoncés mathématiques eux-mêmes comme étant le résultat de l’opération de certaines fonctions : les fonctions qui ont précisément pour particularité de produire des énoncés (ou des « jugements », dirait Frege). Par exemple, soit l’énoncé « 2 > 0 » (« 2 est supérieur à zéro ») : on peut analyser cet énoncé comme étant la valeur que prend la fonction « ... est supérieur à 0 » quand on l’applique à l’argument « 2 ». Frege (et Russell par la suite) a également remarqué que la plupart des fonctions qui produisent des énoncés mathématiques sont des fonctions qui s’appliquent à plusieurs arguments (autrement dit : des relations). Par exemple, les fonctions « = » (« égaler »), ou « > » (« être supérieur à ») s’appliquent chacune à deux arguments pour donner, comme valeur, un énoncé : appliquée aux arguments « 7 » et « 5 », la fonction « > » donne l’énoncé : « 7 > 5 », etc.

Frege (puis Russell) ont ensuite étendu cette analyse à tous les énoncés déclaratifs (mathématiques ou non) : ce qu’on appelle les « propositions ». C’est la notion de fonction propositionnelle [1]  : une proposition est le résultat (la valeur) de l’application d’une fonction propositionnelle à un (ou plusieurs) argument(s). Par exemple : la proposition « Socrate est un homme » résulte de l’application de la fonction propositionnelle « x est un homme » à l’argument « Socrate ».

Cette analyse a permis le développement du calcul des prédicats (ou : logique quantificationnelle). L’analyse logique des propositions obéit au schéma : F(x). Par exemple, « Socrate est un homme » s’écrira symboliquement : Hs [2] Cette analyse fonctionnelle des propositions — en deux éléments : fonction-argument — remplace la vieille analyse traditionnelle en sujet-copule-prédicat : la notion de « prédicat », aujourd’hui, recouvre celle de « fonction » (il suffit donc à un prédicat de s’appliquer à un argument pour engendrer une proposition). Elle permet notamment le développement d’une véritable logique des relations (fondamentale en mathématiques, nous l’avons noté, mais aussi en philosophie) : les relations sont tout simplement des prédicats polyadiques (= s’appliquant à plusieurs arguments), irréductibles aux « prédicats » traditionnels (conçus comme strictement monadiques).

L’analyse vérifonctionnelle des déductions mathématiques

L’analyse de Frege-Russell ne concerne pas seulement la structure logique interne des propositions (= logique quantificationnelle), mais aussi — ce qui est encore plus fondamental d’un point de vue logique — les relations logiques entre propositions : en cela, elle a donné naissance à la logique propositionnelle (qui est le socle de la logique standard).

La notion de fonction, à nouveau, joue un rôle central — cette fois dans l’analyse des procédures de déduction mathématique. Les déductions mathématiques sont de nature vérifonctionnelle : leur certitude provient du fait que la valeur de vérité de telle combinaison de propositions est strictement déterminée par la valeur de vérité des propositions qui la composent. Pour prendre un exemple extrêmement simple : la vérité de la proposition complexe p & q est strictement déterminée par la valeur de vérité de chacune des deux propositions simples, p et q, qui la composent (= il suffit de savoir que p et q sont vraies pour savoir que p & q est vraie). On dira que le foncteur logique « & » symbolise une vérifonction : c’est-à-dire une opération qui, appliquée à certaines propositions simples de valeur de vérité déterminée, produit une proposition complexe de valeur de vérité déterminée. Frege et Russell ont montré que toute déduction mathématique — et, plus généralement, toute déduction logiquerepose sur l’opération d’un certain nombre de foncteurs vérifonctionnels. C’est le principe de base du calcul des propositions (= logique propositionnelle).

 La logique standard comme logique mathématique

Nous venons de voir que la logique classique est « mathématique » au sens où elle est foncièrement une analyse des vérités et raisonnements mathématiques (étendue par la suite à l’analyse des vérités et raisonnements logiques en général).

Mais on la qualifie également de « mathématique » en un second sens, quoique émanant naturellement du précédent. Provenant de l’analyse des mathématiques, la logique emprunte aux mathématiques ses procédures les plus caractéristiques :

  • dans le fond : nous avons vu que les inférences logiques s’avèrent de même nature que les inférences mathématiques,
  • comme sur la forme : la logique emprunte également aux mathématiques la pratique du symbolisme. Contrairement à la logique traditionnelle (qui n’était que très imparfaitement formalisée), la logique contemporaine est entièrement symbolique : elle n’utilise que des symboles propres, précisément définis, de sens univoque, qui permettent de capturer précisément la validité formelle des arguments (ce que les langages naturels ne permettent pas).
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Le classique de la logique mathématique

Pour un exposé — aussi brillant que classique — de la logique classique sous l’appellation de « logique mathématique », cf. l’introduction du mathématicien et logicien américain Alonzo Church (1903-1995) :

Alonzo Church, Introduction to Mathematical Logic, Princeton University Press 19562.

Notes

[1L’expression est de Russell.

[2Résultat de l’application de la fonction H (« x est un homme ») à l’argument « Socrate » (désigné par le symbole : s).

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