2. Qu’est-ce que la logique classique ?

jeudi 11 février 2016, par Denis Cerba

En bref : La logique « classique » est aujourd’hui la logique contemporaine. Plus précisément, il s’agit de la partie centrale de la logique contemporaine : les calculs propositionnel et quantificationnel, mis au point au début du 20e s. par les fondateurs historiques de la logique contemporaine.

Il ne faut pas confondre logique « classique » et logique « traditionnelle » ! Ce qu’on appelle la logique « traditionnelle » est la logique aristotélicienne, qui n’est plus reconnue aujourd’hui comme étant la logique classique. La logique « classique » est aujourd’hui la logique contemporaine, qui a été fondée à la fin du 19e s. et s’est depuis définitivement imposée (sur les grandes lignes de l’histoire de la logique, et sur la différence entre logique traditionnelle et logique contemporaine, cf. Qu’est-ce que la logique contemporaine ?).

Plus précisément : la logique « classique » est la partie centrale de la logique contemporaine. On l’appelle aussi la logique « standard ». Il s’agit de la théorie initialement mise au point par les fondateurs de la logique contemporaine : G. Frege (Begriffschrift, 1879) et B. Russell (Principia Mathematica, 1910-1913). Au cours du 20e s., certains compléments importants ont été apportés à cette théorie : ces compléments sont irréductibles à la théorie de Frege/Russell, mais ne sont généralement nullement incompatibles avec elle. C’est pourquoi la théorie de Frege/Russell demeure le cœur et le socle de la logique contemporaine [1], et est qualifiée de « classique », ou de « standard ». On regroupe sous l’appellation de « logique non-classique » (ou « logique philosophique ») les différentes extensions apportées au cours du 20e s. à la logique de Frege/Russell (et qui s’en éloignent plus ou moins selon les cas).

Dans ce qui suit, nous présentons les grandes lignes de la logique « classique », avant d’évoquer brièvement le contenu des logiques « non-classiques ».

 Les grandes lignes de la logique classique

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Le classique de la logique contemporaine
(Les Principia Mathematica de Russell & Whitehead)

La théorie logique mise au point par Frege, puis Russell, est avant tout ce qu’on appelle une logique mathématique. Son but premier est de dégager la structure logique sous-jacente à la connaissance mathématique : à la fois les concepts et axiomes logiques antérieurs aux concepts et théorèmes mathématiques proprement dits [2], ainsi que les procédures logiques générales qui permettent au mathématicien de raisonner et de déduire. C’est pourquoi l’exposé de la logique russellienne — le premier système achevé de logique classique — s’intitule Principia Mathematica.

Néanmoins, la logique de Frege/Russell déborde d’emblée ce cadre strictement mathématique : elle permet en fait aussi de formaliser et d’évaluer la plupart des arguments que nous produisons, et formulons habituellement en langage naturel (que ce soit en philosophie, ou dans n’importe quelle branche du savoir, ou dans la vie courante...). La logique mathématique est également, pour l’essentiel, la logique du langage en général, ou la théorie générale de l’argumentation valide : c’est précisément en cela qu’elle a acquis le statut de logique « classique » (ou « standard »). En particulier, Frege et Russell n’ont pas tardé à appliquer l’outil logique qu’ils avaient mis au point à l’analyse et la résolution de questions spécifiquement philosophiques : cette démarche est à l’origine du courant dit de la « philosophie analytique » (cf. Qu’est-ce que la philosophie analytique ?).

La logique classique se compose de deux grandes parties :

  1. La logique propositionnelle (ou : calcul des propositions)
  2. La logique quantificationnelle — elle-même subdivisée en deux sous-parties :
    • le calcul des prédicats
    • le calcul des relations

Précisons d’emblée que ces deux grandes parties ne sont pas totalement distinctes l’une de l’autre : la logique quantificationnelle est en fait une extension et complexification de la logique propositionnelle (la logique quantificationnelle ne peut pas exister sans son soubassement propositionnel — mais l’inverse n’est pas vrai).

La logique propositionnelle

La logique propositionnelle est donc le socle de la logique classique. On peut en donner la caractérisation suivante : la logique propositionnelle théorise la validité formelle des arguments, en tant que celle-ci ne provient que de la façon dont les propositions sont liées entre elles (et non, comme la logique quantificationnelle, de la structure interne des propositions). (Sur la notion de validité formelle, qui est la notion la plus centrale de la logique, cf. Qu’est-ce que la logique contemporaine ?)

Prenons un exemple très simple. Soit l’argument suivant :

  1. Jean ne viendra que si Pierre vient.
  2. Pierre ne viendra pas.
  3. Donc Jean ne viendra pas.

Cet argument ne met en jeu que deux propositions simples :

  • la proposition p : « Jean vient »
  • la proposition q : « Pierre vient »

Cet argument est déductivement valide : cela signifie que si les deux prémisses (1 et 2) sont vraies, alors la conclusion (3) ne peut que l’être également. Or, cela provient uniquement des opérations logiques qui ont abouti à la constitution des propositions complexes 1 et 2. Ces opérations sont au nombre de deux :

  • La conditionnalisation dans le cas de la prémisse n°1 : « Jean ne viendra que si Pierre vient » a pour structure logique : p → q, ce qui signifie : que Pierre vienne (q) est une condition nécessaire pour que Jean vienne (p).
  • La négation dans le cas de la prémisse n°2 : « Pierre ne viendra pas » a pour structure logique : ¬q, c’est-à-dire la négation de la proposition q.

La logique propositionnelle dira que le schéma argumentatif suivant est valide :

  1. p → q
  2. ¬q
  3. ¬p

On voit qu’en logique propositionnelle, la validité des arguments dépend de la mise en œuvre de certaines opérations logiques précises, qui portent sur une proposition (la négation), ou qui servent à relier deux propositions simples pour constituer une proposition complexe (la conditionnalisation) — sans jamais faire intervenir la structure interne des propositions (et encore moins leur contenu : il s’agit du caractère formel de la logique, cf. Qu’est-ce que la logique contemporaine ?).

Ces différentes opérations logiques assurant la validité propositionnelle des arguments sont symbolisés par ce qu’on appelle des foncteurs logiques. Classiquement, ces foncteurs sont au nombre de 5 :

  1. La négation : ¬ (Si p = « Jean vient », alors ¬p = « Jean ne vient pas »).
  2. La conjonction : & (p & q : « Jean vient et Pierre vient »).
  3. La disjonction : v (p v q : « Jean, ou Pierre, viendra », au sens inclusif : c’est-à-dire que Jean et Pierre peuvent venir tous les deux).
  4. Le conditionnel : → (p → q : « Si Jean vient, Pierre vient », ou « Jean vient seulement si Pierre vient », ce qui signifie que p est la condition suffisante de q, ou que q est la condition nécessaire de p).
  5. Le biconditionnel : ↔ (p ↔ q : « Jean vient si et seulement si Pierre vient », ce qui signifie que p et q sont conditions nécessaires et suffisantes l’une de l’autre).

Au final, on peut donc définir la logique propositionnelle comme suit :

La logique propositionnelle est la théorie de la validité formelle des arguments, en tant que celle-ci ne dépend que de l’utilisation des foncteurs logiques.

La logique quantificationnelle

La logique quantificationnelle est une extension de la logique propositionnelle : elle théorise la validité formelle des arguments, en tant que celle-ci ne provient pas seulement de l’opération des foncteurs logiques (= logique propositionnelle), mais aussi de la structure logique interne des propositions. La logique quantificationnelle ajoute donc au calcul propositionnel l’analyse logique des propositions.

Par exemple, l’argument suivant est tout à fait valide :

  1. Les baleines sont soit des poissons, soit des mammifères.
  2. Les poissons n’ont pas de poumons.
  3. Les baleines ont des poumons.
  4. Les baleines sont des mammifères.

Néanmoins, la logique propositionnelle est insuffisante pour mettre en évidence sa validité. En logique strictement propositionnelle, le schéma argumentatif sous-jacent est le suivant :

  1. p v q
  2. ¬r
  3. s
  4. q

avec comme propositions simples :

  • p : « Les baleines sont des poissons ».
  • q : « Les baleines sont des mammifères ».
  • r : « Les poissons ont des poumons ».
  • s : « Les baleines ont des poumons ».

Or, ce schéma argumentatif, à lui seul, est invalide. C’est qu’en fait la validité de l’argument dépend également de la structure logique interne des propositions simples qui le composent. Par exemple, analysée au moyen de la logique quantificationnelle, la prémisse 1 devient : ∀x (Bx → (Px v Mx)) — ce qui signifie : Quel que soit x, si x est une baleine, alors x est un poisson ou x est un mammifère.

Analysé par la logique quantificationnelle, l’argument devient :

  1. ∀x (Bx → (Px v Mx))
  2. ∀x (Px → ¬P1x)
  3. ∀x (Bx → P1x)
  4. ∀x (Bx → Mx)

Ce schéma, lui, est valide !

On voit que la logique quantificationnelle est une complexification de la logique propositionnelle, puisqu’elle continue d’utiliser les foncteurs. Mais elle utilise en plus de nouveaux types de symboles :

  1. Des variables d’individu : x, y, etc.
  2. Des constantes d’individu : j (= « Jean »), c (= « Cette baleine »), etc.
  3. Des constantes prédicationnelles : B (« ... est une baleine »), P (« ... a des poumons »), etc.
  4. Des quantificateurs (qui permettent de dénombrer). Les deux quantificateurs sont :
    • Le quantificateur universel : ∀ (« Quel que soit... »).
    • Le quantificateur existentiel : ∃ (« Il existe au moins un... »).

On peut donc, au total, définir la logique quantificationnelle comme suit :

La logique quantificationnelle est la théorie de la validité formelle des arguments, en tant que celle-ci dépend non seulement de l’opération des foncteurs logiques, mais aussi de la structure logique interne des propositions simples.

Calcul des prédicats/calcul des relations

Il existe une distinction importante au sein de la logique quantificationnelle : la distinction entre

  • logique des prédicats (ou calcul des prédicats), et
  • logique des relations (ou calcul des relations).

Plus exactement, il s’agit en fait de la distinction entre :

  • logique des prédicats monadiques, et
  • logique des prédicats polyadiques.

Un prédicat monadique s’applique proprement à un seul individu. Par exemple, « ...est blanc » : ce mur est blanc, etc.

En revanche, un prédicat polyadique ne peut concerner que plusieurs individus. Par exemple, le prédicat « ... est entre... et... » s’applique nécessairement à trois individus (« Lyon est entre Paris et Marseille »). Il y a des prédicats dyadiques (« ... est à la droite de... », etc.), des prédicats triadiques (« ... est entre... et... », etc.), etc. Plus communément, un prédicat polyadique s’appelle une relation.

C’est l’une des grandes avancées de la logique contemporaine que d’avoir mis en évidence que la logique quantiticationnelle (= la logique des prédicats en général) n’est pas seulement une logique des prédicats monadiques (comme c’était le cas dans la logique traditionnelle), mais aussi une logique des relations (= des prédicats polyadiques).

 Les logiques non-classiques

Les logiques non-classiques correspondent à différentes extensions apportées au cours du 20e s. à la logique classique. Elles visent à permettre l’analyse d’arguments contenant des notions n’intervenant pas en mathématique ( la logique classique est d’abord une logique mathématique : cf. plus haut), mais qui ont une certaine importance, notamment dans la réflexion philosophique : c’est pourquoi on regroupe habituellement ces logiques non-classiques sous l’appellation commode de « logique philosophique ».

Les principales logiques non-classiques peuvent être classifiées de la façon suivante :

Les logiques non-classiques
  1. Les logiques extra-classiques : elles ajoutent certaines notions à la logique classique.
    • La logique temporelle : ajoute la distinction de temps (passé, présent, futur).
    • la logique modale : ajoute la distinction entre l’actuel, le nécessaire et le possible (= les distinctions modales). La logique modale a joué un grand rôle dans la philosophie analytique de la seconde moitié du 20e s. : elle apparaît aujourd’hui comme un complément particulièrement important apporté à la logique strictement classique.
  2. les logiques anti-classiques : elles ne font pas que compléter la logique classique, mais elles l’amendent (de façon plus ou moins drastique).
    • la logique conditionnelle : le sens du foncteur conditionnel (→) ne serait pas adéquatement compris à partir de son seul usage mathématique.
    • la logique relevantiste : même la pratique strictement mathématique ne serait pas adéquatement théorisée par la logique classique.
    • la logique intuitionniste : critique encore plus drastique de la logique classique (la pratique mathématique elle-même serait à réformer).

Les logiques relevantiste et intuitionniste correspondent à une critique extrêmement drastique de la logique classique, mais elles sont très marginales au sein de la logique contemporaine.

Nous reviendrons plus précisément sur le contenu de ces différentes logiques non-classiques dans des articles spécialisés.

Notes

[1C’est du moins l’opinion de la très vaste majorité des logiciens contemporains. Mais il existe également une option anti-classique, quoique très minoritaire.

[2Par exemple : Frege et Russell dégagent la définition logique des nombres naturels (1,2,3, etc.), alors que les mathématiques ne font que les présupposer.

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