1. Qu’est-ce que la logique contemporaine ?

jeudi 11 février 2016, par Denis Cerba

En bref : La logique contemporaine a été fondée à la fin du 19e s., et elle a connu depuis lors un développement considérable. Par sa précision et son ampleur, elle supplante définitivement la logique dite « traditionnelle », qui remonte pour l’essentiel à Aristote : Aristote a certes fondé la logique, mais la logique contemporaine a mis en évidence les limites très étroites de sa théorie, centrée sur le seul « syllogisme ».

Si l’on considère la logique du point de vue de son histoire, il apparaît nécessaire d’y distinguer deux grandes étapes :

  1. La logique traditionnelle : c’est la théorie logique fondée et dominée par Aristote, et qui a perduré sans changement majeur jusqu’au 19e s.
  2. La logique contemporaine : fondée à la fin du 19e s., elle représente une avancée majeure et décisive par rapport à la logique traditionnelle. Aujourd’hui : logique = logique contemporaine.

 La logique traditionnelle

La logique a été fondée par Aristote (4e s. av. J.-C.). La théorie logique d’Aristote est une véritable logique, mais extrêmement limitée : elle ne sera véritablement supplantée que par la logique contemporaine, dont la précision et l’ampleur la surpassent de façon décisive.

Forces et faiblesses de la logique d’Aristote

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Aristote
(384-322 av. J.-C.)

Aristote est — et restera — le fondateur de la logique, pour avoir été le premier à découvrir et théoriser la notion de validité formelle : le fait pour un argument d’être concluant (c’est-à-dire d’aboutir à une conclusion = validité), et de l’être en vertu non de son contenu, mais de sa seule forme (= validité formelle). C’est l’idée absolument centrale de la logique : la logique est la théorie de la validité formelle des arguments.

Par exemple, Aristote explique que l’argument suivant est concluant :

  1. Les hommes sont mortels.
  2. Les Grecs sont des hommes.
  3. Les Grecs sont mortels.

Cela veut dire que si l’on accepte les propositions 1 et 2 (les prémisses), on est autorisé — on est même obligé ! — d’accepter aussi la proposition 3 (la conclusion). Mais le génie d’Aristote consiste à avoir vu que cet argument est concluant en vertu de sa seule forme, c’est-à-dire parce qu’il se conforme à un schéma plus général, qu’on appelle aujourd’hui un schéma argumentatif, et qu’on peut mettre en évidence en utilisant des symboles :

  1. Tous les A sont B.
  2. Tous les C sont A.
  3. Tous les C sont B.

Par quoi qu’on remplace les symboles A, B et C, l’argument qui en résultera sera toujours valide : cela montre que c’est une certaine forme, et non un certain contenu (les hommes, les Grecs, le fait d’être mortel...), qui autorise à conclure. Aristote avait donc déjà aperçu cette vérité fondamentale entérinée par la logique contemporaine : la logique est formelle, et donc symbolique.

Voilà pour les points forts de la théorie logique d’Aristote. Maintenant, ses points faibles. La théorie logique d’Aristote est extrêmement limitée et incomplète, car elle se focalise sur un seul type d’argument : ce qu’Aristote appelle le « syllogisme » (exemple ci-dessus) ; or la forme syllogistique n’est qu’un cas très particulier de schéma argumentatif, parmi beaucoup d’autres (tout aussi valides et intéressants). Donc, dans cette mesure, la logique d’Aristote est extrêmement défectueuse : elle ne peut prétendre à être la théorie de la validité formelle des arguments.

Par exemple, elle est incapable de théoriser la validité formelle d’un argument aussi simple — et fondamental ! — que celui-ci (qui relève d’un tout autre schéma que le schéma syllogistique) :

  1. Je viendrai seulement si Pierre vient aussi.
  2. Mais Pierre ne viendra pas.
  3. Donc, je ne viendrai pas.

Ou l’invalidité de l’argument suivant :

  1. Si Pierre vient, je viendrai aussi.
  2. Mais Pierre ne viendra pas.
  3. Donc, je ne viendrai pas...

Après Aristote

Nous savons aujourd’hui que les philosophes stoïciens ont élaboré une logique très supérieure à celle d’Aristote, et qui anticipe en partie les avancées de la logique contemporaine.

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Chrysippe (280-206 av. J.-C.)

Elle est due pour l’essentiel aux travaux de Chrysippe, deuxième successeur de Zénon à la tête du Portique. Mais la logique stoïcienne, si remarquable fut-elle, n’a eu quasiment aucune influence historique : durant l’Antiquité, elle est demeurée un savoir spécialisé à peu près inaccessible au grand public cultivé, et dont l’importance philosophique n’a pas été mesurée. Et à la fin de l’Antiquité, elle a disparu corps et âme : elle ne subsiste plus aujourd’hui qu’à l’état de fragments, et c’est seulement au 20e s. (à la lumière de la logique contemporaine) qu’on a pu mesurer son importance et sa pertinence.

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Guillaume d’Ockham (1285-1347)

Durant toute la période médiévale et moderne, seule la logique d’Aristote était connue, et elle représentait — pour le meilleur et pour le pire — la logique. Cela n’a pas empêché l’émergence de quelques logiciens remarquables, dont l’histoire de la philosophie a retenu les noms : les trois plus brillants d’entre eux sont certainement Pierre Abélard (12e s.), Guillaume d’Ockham (14e s.) et Leibniz (17e s.). Mais aucun d’eux n’a réussi à briser le carcan imposé à la logique par la syllogistique aristotélicienne.

 La logique contemporaine

La fondation de la logique contemporaine, à la fin du 19e s., équivaut à une véritable refondation de la logique.

Les fondateurs

Plusieurs penseurs importants ont contribué de façon plus ou moins indirecte à l’apparition et à la constitution de la logique contemporaine : George Boole (1815-1864) en Angleterre, Bernard Bolzano (1781-1848) en Autriche, Charles Sanders Pierce (1839-1914) aux États-Unis, Kazimierz Twardowski (1866-1938) en Pologne, Giuseppe Peano (1858-1932) en Italie...

Néanmoins, les deux véritables fondateurs de la logique contemporaine sont le mathématicien allemand Gottlob Frege (1848-1925) et le philosophe anglais Bertrand Russell (1872-1970).

La Begriffsschrift de Frege (1879)


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L’acte de naissance de la logique contemporaine
A droite : le papa

On peut dire que l’acte de naissance de la logique contemporaine est la publication par G. Frege, en 1879, d’un écrit — assez court et technique — intitulé Begriffsschrift [1].

« Begriffsschrift » peut se traduire en français : « notation conceptuelle ». Dans ce traité, Frege expose le langage symbolique (formel) qu’il a mis au point dans le but d’exprimer dans toute leur rigueur le contenu et la validité des raisonnements mathématiques (Frege est d’abord un mathématicien, qui se pose la question du fondement des mathématiques : l’élaboration d’une Begriffsschrift représente pour lui un préalable à la résolution de cette question particulièrement difficile, et qui préoccupait tous les grands mathématiciens de son temps). Le langage formel inventé par Frege ressemble à ceci :

La logique contemporaine n’utilise plus aujourd’hui le symbolisme mis au point par Frege : quoique ingénieux et tout à fait exact, il est d’utilisation peu pratique (en raison notamment de son caractère bi-dimensionnel). En revanche, la logique contemporaine entérine les grands principes de l’inférence déductive dégagés par Frege et qui marquent une avancée décisive par rapport à la vieille doctrine aristotélicienne. Pour la première fois , les grands principes qui structurent l’ensemble de la logique sont dégagés de façon satisfaisante : en particulier, Frege dégage la structuration fondamentale de la logique en logique propositionnelle et logique quantificationnelle (structuration inconnue d’Aristote, cf. plus bas).

Les Principia Mathematica de Russell et Whitehead (1910-1913)


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Les Principia Mathematica de Russell et Whitehead

Frege a dégagé les grands principes, mais on considère que le premier système vraiment achevé de logique contemporaine classique se trouve exposé dans les monumentaux Principia Mathematica, publiés par B. Russell, en collaboration avec A. N. Whitehead, de 1910 à 1913.

Russell et Whitehead utilisent un autre symbolisme que celui de Frege, adopté de G. Peano et proche du symbolisme généralement utilisé aujourd’hui. Voici, à titre d’exemple, le théorème *54.43, suivi de sa démonstration (il s’agit des fondements logiques du théorème arithmétique 1+1 = 2) :

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Principia Mathematica, *54.43

Après ce moment inaugural, la logique n’a cessé de se développer et de se complexifier au cours du 20e s. Parmi les grands logiciens qui ont poursuivi, complété, infléchi..., le travail de Frege, Russell et Whitehead, on peut citer : Jan Lukasiewicz (1878-1956), Alfred Tarski (1901-1983), Kurt Gödel (1906-1978), Willard Van Orman Quine (1908-2000).

La logique est aujourd’hui une discipline parvenue à maturité, autonome par rapport aux mathématiques et à la philosophie, avec lesquelles elle continue néanmoins d’entretenir des liens étroits. Elle compte au nombre des avancées intellectuelles majeures du 20e s.

Les (très) grandes lignes de la logique contemporaine

La théorie logique mise au point par Frege puis Russell est avant tout ce qu’on appelle une logique mathématique. Elle a pour but de dégager la structure logique sous-jacente à la connaissance mathématique : à la fois les concepts et axiomes logiques antérieurs aux concepts et théorèmes mathématiques proprement dits [2], ainsi que les procédures logiques générales qui permettent au mathématicien de raisonner et de déduire. C’est pourquoi l’exposé de la logique russellienne s’intitule Principia Mathematica.

Néanmoins, cette logique déborde largement ce cadre strictement mathématique : elle permet en fait aussi de formaliser et d’évaluer la plupart des arguments que nous produisons et formulons habituellement en langage naturel (que ce soit en philosophie, ou dans n’importe quelle branche du savoir, ou dans la vie courante...). La logique mathématique est également, pour l’essentiel, la logique du langage en général, ou la théorie générale de l’argumentation valide : en cela, elle est ce qu’on appelle la logique classique (ou logique standard). En particulier, Frege et Russell n’ont pas tardé à appliquer l’outil logique qu’ils avaient mis au point à l’analyse et la résolution de questions spécifiquement philosophiques : cette démarche est à l’origine du courant dit de la « philosophie analytique » (cf. Qu’est-ce que la philosophie analytique ?).

La logique classique (ou standard) se compose de deux grandes parties :

  1. La logique propositionnelle.
  2. La logique quantificationnelle.

Précisons d’emblée que ces deux parties ne sont pas totalement distinctes l’une de l’autre : la logique quantificationnelle est en fait une extension et complexification de la logique propositionnelle (la logique quantificationnelle ne peut pas exister sans son soubassement propositionnel — mais l’inverse n’est pas vrai).

La logique propositionnelle

La logique propositionnelle est le socle de la logique classique. Elle théorise la validité formelle des arguments en tant que celle-ci ne provient que de la façon dont les propositions sont liées entre elles (et non, comme la logique quantificationnelle, de la structure interne des propositions).

Prenons un exemple très simple. Soit l’argument suivant :

  1. Jean ne viendra que si Pierre vient.
  2. Pierre ne viendra pas.
  3. Donc Jean ne viendra pas.

Cet argument ne met en jeu que deux propositions simples :

  • la proposition p : « Jean vient »
  • la proposition q : « Pierre vient »

Cet argument est déductivement valide : cela signifie que si les deux prémisses 1 et 2 sont vraies, alors la conclusion 3 ne peut que l’être également. Or, cela provient uniquement des opérations logiques qui ont abouti à la constitution des propositions complexes 1 et 2. Ces opérations sont au nombre de deux :

  • La conditionnalisation dans le cas de la prémisse n°1 : « Jean ne viendra que si Pierre vient » a pour structure logique : p → q, ce qui signifie : que Pierre vienne (q) est une condition nécessaire pour que Jean vienne (p).
  • La négation dans le cas de la prémisse n°2 : « Pierre ne viendra pas » a pour structure logique : ¬q, c’est-à-dire la négation de la proposition q.

La logique propositionnelle dira que le schéma argumentatif suivant est valide :

  1. p → q
  2. ¬q
  3. ¬p

On voit qu’en logique propositionnelle, la validité des arguments dépend de la mise en œuvre de certaines opérations logiques précises, qui portent sur une proposition (la négation), ou qui servent à relier deux propositions simples pour constituer une proposition complexe (la conditionnalisation) — sans jamais faire intervenir la structure interne des propositions, et encore moins leur contenu !

Ces différentes opérations logiques assurant la validité propositionnelle des arguments sont symbolisés par ce qu’on appelle des foncteurs logiques. Classiquement, ces foncteurs sont au nombre de 5 :

  1. La négation : ¬ (Si p = « Jean vient », alors ¬p = « Jean ne vient pas »).
  2. La conjonction : & (p & q : « Jean vient et Pierre vient »).
  3. La disjonction : v (p v q : « Jean, ou Pierre, viendra », au sens inclusif : c’est-à-dire que Jean et Pierre peuvent venir tous les deux).
  4. Le conditionnel : → (p → q : « Si Jean vient, Pierre vient », ou « Jean vient seulement si Pierre vient », ce qui signifie que p est la condition suffisante de q, ou que q est la condition nécessaire de p).
  5. Le biconditionnel : ↔ (p ↔ q : « Jean vient si et seulement si Pierre vient », ce qui signifie que p et q sont conditions nécessaires et suffisantes l’une de l’autre).

On peut donc définir la logique propositionnelle comme suit :

La logique propositionnelle est la théorie de la validité formelle des arguments, en tant que celle-ci ne dépend que de l’utilisation des foncteurs logiques.
La logique quantificationnelle

La logique quantificationnelle est une extension de la logique propositionnelle : elle théorise la validité formelle des arguments, en tant que celle-ci ne provient pas seulement de l’opération des foncteurs logiques (= logique propositionnelle), mais aussi de la structure logique interne des propositions. La logique quantificationnelle ajoute donc au calcul propositionnel l’analyse logique des propositions.

Par exemple, l’argument suivant est valide :

  1. Les baleines sont soit des poissons, soit des mammifères.
  2. Les poissons n’ont pas de poumons.
  3. Les baleines ont des poumons.
  4. Les baleines sont des mammifères.

Néanmoins, la logique propositionnelle est insuffisante pour mettre en évidence sa validité. En logique strictement propositionnelle, le schéma argumentatif sous-jacent est le suivant :

  1. p v q
  2. ¬r
  3. s
  4. q

avec comme propositions simples :

  • p : « Les baleines sont des poissons ».
  • q : « Les baleines sont des mammifères ».
  • r : « Les poissons ont des poumons ».
  • s : « Les baleines ont des poumons ».

Or, ce schéma argumentatif, à lui seul, est invalide. C’est qu’en fait la validité de l’argument dépend également de la structure logique interne des propositions simples qui le composent. Par exemple, analysée au moyen de la logique quantificationnelle, la prémisse 1 devient : ∀x (Bx → (Px v Mx)) — ce qui signifie : Quel que soit x, si x est une baleine, alors x est un poisson ou x est un mammifère.

Analysé par la logique quantificationnelle, l’argument devient :

  1. ∀x (Bx → (Px v Mx))
  2. ∀x (Px → ¬P1x)
  3. ∀x (Bx → P1x)
  4. ∀x (Bx → Mx)

Ce schéma, lui, est valide !

On voit que la logique quantificationnelle est une complexification de la logique propositionnelle, puisqu’elle continue d’utiliser les foncteurs. Mais elle utilise en plus de nouveaux types de symboles :

  • Des variables d’individu : x, y, etc.
  • Des constantes d’individu : j (= « Jean »), c (= « Cette baleine »), etc.
  • Des constantes prédicationnelles : B (« ... est une baleine »), P (« ... a des poumons »), etc.
  • Des quantificateurs (qui permettent de dénombrer). Les deux quantificateurs sont :
    • Le quantificateur universel : ∀ (« Quel que soit... »).
    • Le quantificateur existentiel : ∃ (« Il existe au moins un... »).

On peut donc définir la logique quantificationnelle comme suit :

La logique quantificationnelle est la théorie de la validité formelle des arguments, en tant que celle-ci dépend non seulement de l’opération des foncteurs logiques, mais aussi de la structure logique interne des propositions simples.

Les insuffisances de la logique traditionnelle

On voit bien maintenant les deux manquements majeurs de la logique traditionnelle (aristotélicienne) :

  1. Elle ignore totalement le soubassement propositionnel de la logique quantificationnelle : la logique d’Aristote n’est qu’une logique des prédicats. Les logiciens médiévaux ont essayé de remédier à ce manque, mais en « bricolant » à partir de la syllogistique aristotélicienne et en produisant une théorie à la fois inutilement complexe et très incomplète.
  2. En logique quantificationnelle, elle se focalise sur un cas particulier : le syllogisme. Donc, même en tant que logique strictement quantificationnelle (logique des prédicats), la logique traditionnelle est extrêmement incomplète : elle ignore par exemple la très importante logique des relations (la logique des prédicats polyadiques : Dxy (« x est à la droite de y »), etc.).

Notes

[1La Begriffsschrift de Frege a été traduite en français pour la première fois en 1999, sous le titre « Idéographie » : G. Frege, Idéographie, Paris, VRIN, 1999.

[2Par exemple, Frege et Russell dégagent la définition logique des nombres naturels, alors que les mathématiques ne font que les présupposer.

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